Estudió primero con su tío, Giuseppe Ottavio Cini, maestro di cappella en Siena, y luego con Giovanni Maria Casini, organista de la catedral de Florencia. Era sacerdote y estuvo en España con el nuncio papal entre 1706 y 1709; luego se fue a Roma.

En 1711 se realizó en la catedral de Siena su "Misa de Réquiem" por Francesco Maria de' Medici. Según Morrocchi, fue organista de Santa María in Provenzano; puede haber sido desde ahí que solicitó ser asistente de Giovanni Pietro Franchi, maestro di cappella de la Basílica de la Santa Casa, Loreto, en 1731. Antonio Caldara compitió también para el cargo, pero Redi, apoyado por Giuseppe Ottavio Pitoni, fue contratado el 1 de junio de 1731. En 2 de diciembre de 1731, luego de la muerte de Franchi, Redi se convirtió en maestro di cappella, manteniendo el título hasta poco antes de su muerte.

La música de Redi, escrita en respuesta a las diversas exigencias de su posición, se extiende desde una simple secuencia homofónica a capella de cuatro partes hasta una polifónica, a menudo cromática misa para dos coros de cuatro partes con acompañamiento de cuerdas. La escritura de Redi es siempre competente y en un estilo claro, rítmicamente regular del siglo XVIII.

Pero el principal interés sobre Redi radica en su controversia con el Padre Martini sobre el incompleto canon de Giovanni  Animuccia (1514-1571) en una pintura al óleo en la Cappella Lauretana. El joven Martini encontró una solución (29 de septiembre 1732) con la que Redi no estuvo de acuerdo; la suya, junto con la de Martini, fueron enviadas luego a Pitoni (en Roma), Antonio Maria Pacchioni (Módena), Francesco AQntonio Calegari (Venecia) y Francesco Antonio Vallotti (Padua). Si bien apreciando la propuesta de Redi, votaron sin embargo a favor de Martini, quien luego escribió una defensa larga, erudita que cerró la controversia. Hay en total nueve cartas sobre el tema, incluyendo una de Giuseppe Tartini. Redi fue enterrado en la iglesia dei Padri Minori Conventuali, Montelupone.